Венгерские инженеры сконструировали однородный моно-моностатический объект — что это такое?

Детская игрушка — «неваляшка», как бы ее ни наклоняли, всегда возвращается в исходное положение. У нее два положения равновесия, одно устойчивое и одно неустойчивое (если поставить ее на голову, она перевернется при малейшем отклонении).



Это свойство, называемое моно-моностатичностью, обусловлено конструкцией игрушки — на дне находится груз, а сверху она пустая. А можно ли сделать однородный моно-моностатический объект? Двум венгерским инженерам это удалось.
Моно-моностатические тела, имеющие одно устойчивое и одно неустойчивое положение равновесия, ускользают от воображения обычного человека. Но не от природы: панцири некоторых черепах и жуков имеют форму, которая облегчает им переворот с «головы на ноги».


Габор Домокош получил инженерное образование в Венгрии, но интересовался скорее не практической, а математической стороной задач. В конце 1980-х он на год уехал поработать в Корнеллском университете, где познакомился с Энди Руиной и Джимом Пападопулосом. Как рассказывал Габор Домокош в своей лекции, «Джим заинтересовался положениями равновесия разных тел, изготовленных из фанеры (плоских, с однородной массой) и проволоки (масса которых распределена по контуру). Например, квадрат имеет четыре положения устойчивого равновесия, он может стоять на каждой из своих сторон, и четыре положения неустойчивого равновесия — стоя на каждой из вершин. Эллипс имеет положение устойчивого равновесия при горизонтальной ориентации длинной оси и неустойчивое — при вертикальной; он симметричен, поэтому имеет два устойчивых и два неустойчивых положения равновесия.
Джим пришел к выводу, что это минимальное количество положений равновесия для любой фигуры». В 1994 году Габор Домокош, Энди Руина и Джим Пападопулос доказали, что двумерный объект, имеющий только одно состояние устойчивого и одно состояние неустойчивого равновесия, не может существовать.



Имя: Габор Домокош (Gabor Domokos) // Год рождения: 1961 // Страна: Венгрия // Образование: Будапештский университет технологии и экономики — инженерная архитектура, 1986 // Должность: профессор факультета механики, материалов и структур Будапештского университета технологии и экономики, адъюнкт-профессор механики и аэрокосмической инженерии Корнеллского университета.

Обед с Арнольдом

В 1995 году Габор Домокош встретился с одним из крупнейших математиков XX века Владимиром Арнольдом на Международном конгрессе индустриальной и прикладной математики в Гамбурге. Арнольд читал там лекцию, посвященную теореме Якоби. Как вспоминает Габор Домокош, «Арнольд рассказывал о разных задачах — дифференциальная геометрия, оптика, механика. Каждая задача имела отношение к числу четыре. Четыре — в этой задаче, четыре — в следующей, четыре, четыре, четыре. Тогда я вспомнил о том, что в нашей статье также было доказано, что плоское тело имеет четыре положения равновесия — два устойчивых, два неустойчивых. Это заставило меня задуматься: может быть, и наша задача имеет отношение к этой теореме?»



Все другие виды тел (с большим количеством положений равновесия) могут быть получены из гёмбёца путем последовательного удаления малых количеств материала. То есть в математическом смысле гёмбёц является «предком» всех форм, а значит, не существует общего алгоритма создания гёмбёца из произвольного тела с большим количеством положений равновесия. В природе всё иначе: гёмбёц не «предок» форм камней, а конечная (хотя и недостижимая), цель их эволюции — и это настоящая загадка.

После конференции, как вспоминает Габор Домокош, ему удалось побеседовать с Владимиром Арнольдом, хотя разговор продолжался всего 15 минут: «Я рассказал о фигурах из фанеры и проволоки и о том, что они имеют не менее двух положений устойчивого и не менее двух неустойчивого равновесия, в сумме четыре. Арнольд выслушал меня и задумался. Через пять минут я спросил его, хочет ли он знать, как мы это доказали, на что он ответил: «Конечно, я знаю, как вы это доказали. Но это не то, о чем я думаю. Вопрос в том, имеет ли это отношение к теореме Якоби или нет». Через какое-то время он продолжил: «Я думаю, что теорема Якоби и ваша задача связаны, но связь непрямая. Я думаю, что есть еще одна теорема, которая включает теорему Якоби и вашу задачу. Я мог бы сказать больше, если бы вы рассказали мне о трехмерной версии вашей задачи». Я с гордостью описал ему контрпример — тело, имеющее одно положение устойчивого равновесия: срезанный цилиндр.
На что Арнольд заметил: «Вы, конечно, понимаете, что это не контрпример! Главный результат вашей работы состоит не в том, что тело имеет два и больше устойчивых положений равновесия, а в том, что оно имеет четыре положения равновесия. И ваш цилиндр имеет четыре положения равновесия — одно устойчивое и три неустойчивых. В то же время тело с меньшим числом положений равновесия может существовать. Напишите мне письмо, когда найдете его».

Колумб, яйцо и мясной пирожок

Доказательство существования такого тела и поиск его формы заняли десять лет. В 2006 году Габор Домокош и его бывший аспирант Петер Варконьи, работавший тогда в Принстонском университете, опубликовали две статьи. В одной они доказали существование моно-моностатических тел, в другой описали форму такого тела, которому дали название «гёмбёц», взятое из венгерского языка: g? mb?c — круглый мясной пирожок.
Идея такой формы основывается на интуитивном предположении о том, что очень малые изменения формы объекта могут привести к возникновению новых тел с б? льшим (но не меньшим!) количеством положений равновесия. Это можно проиллюстрировать легендой о «колумбовом яйце». По легенде, Христофор Колумб, возвратившись в Испанию после открытия Америки, сидел на званом ужине, устроенном в его честь. Кто-то из присутствующих заявил: «Открыть Америку очень просто, это мог бы сделать каждый», — на что Колумб предложил гостям поставить яйцо вертикально на стол. Когда он убедился, что никто не может этого сделать, то примял яйцо с одного конца и поставил его на полученный плоский торец, добавив: Вот теперь это может сделать каждый».



Что произойдет с черепахой, если она случайно перевернется на спину? Оказывается, что среди 200 существующих на Земле видов черепах есть длиннолапые, которые пользуются лапами, чтобы перевернуться со спины на брюшко, и коротколапые. К последним относятся индийские звездчатые черепахи Geochelone elegans, а перевернуться им помогает форма панциря, близкая к форме гёмбёца. Конечно, это не совсем корректная аналогия: черепахи не являются ни однородными, ни моно-моностатичными. Но им не нужно быть в точности моно-моностатичными, поскольку они способны помогать перевороту движением лап. С другой стороны, близость к форме моно-моностатичного объекта вряд ли можно считать случайным совпадением — это явный продукт эволюции.
Для построения гёмбёца Домокош и Варконьи, по сути дела, меняли поверхность шара, отслеживая два параметра: выпуклость и положение центра тяжести. Конечно, существует бесконечное множество тел, обладающих свойствами моно-моностатичности, и гёмбёц — лишь одно из них.

Высокая точность

После лекции, прочитанной на конференции «Наследие Владимира Арнольда» в канадском Университете Торонто, Габор Домокош демонстрирует аудитории гёмбёц. Но перед этим он достает из кармана платок, вытирает стол. Видя недоумение аудитории, объясняет: «Вы не поверите, но даже пыль на столе может изменить поведение гёмбёца. Точность его формы очень важна. Если ошибиться на долю миллиметра, количество положений равновесия изменится. Если хотя бы немного изменить параметры фигуры, количество положений равновесия увеличится. Забавный диалог однажды у меня был с компанией, которой я заказал первый гёмбёц. На вопрос, сделали ли они нужную форму с одним положением устойчивого и одним положением неустойчивого равновесия, они ответили: «Мы сделали даже лучше — наша форма имеет 16 положений устойчивого равновесия!». «А почему бы вам не пользоваться технологиями 3D-печати?» — спрашивают из зала. «На самом деле эти технологии в настоящее время не так уж развиты, — отвечает Домокош. — 3D-печать дискретна, материал наносится слоями. То есть полученная форма будет иметь небольшие «ступеньки», которые, возможно, визуально не искажают форму, но также будут менять количество устойчивых положений гёмбёца».

Время собирать камни

«На поиск гёмбёца у меня ушло десять лет, — говорит Домокош. — За это время я сделал всё, что можно было сделать для решения задачи. Проводя отпуск с женой на Родосе в Греции, я подумал: вероятно, искомое тело можно найти среди камней на пляже. Мы стали собирать камни. В течение недели каждое утро приходили на пляж, собирали камни, днем рассматривали их, записывали в таблицу число устойчивых и неустойчивых точек для каждого камня, а вечером я возвращал камни на место. За это время мы собрали две тысячи камней. Эта была сумасшедшая идея! Но оказалось, что среди камней нет нужных форм.
Когда я второй раз встретился с Арнольдом и подарил первый сделанный гёмбёц (G?mb?c 001), рассказав при этом о своих результатах, он обратил внимание на мою табличку, в которой были классифицированы камни по числу положений равновесия. Согласно ей, большинство камней близки по форме к эллипсоидам и имеют два положения устойчивого и два неустойчивого равновесия. Арнольд высказал предположение, что, скорее всего, естественная абразия (то есть постепенное истирание камней) уменьшает количество положений равновесия. Его идея оказалась верной, однако при достижении двух положений устойчивого и двух неустойчивого равновесия процесс останавливается. Дальнейшее уменьшение количества положений равновесия — очень-очень маловероятное событие. Поэтому гёмбёц, имеющий минимальное число положений равновесия, почти никогда не встречается в природе. Британский физик, профессор Бристольского университета сэр Майкл Бэрри как-то сказал: «Гёмбёц существует в природе, но только как мечта». Тем самым сэр Бэрри хотел подчеркнуть, что каждый камень на морском берегу стремится к форме гёмбёца, но не может ее достичь. Если бы вы спросили камень, хочет ли он быть гёмбёцем, он бы ответил: «Конечно, хочу!» Почему так получается — задача, над которой я сейчас работаю».