8 задачек со школьной олимпиады по математике, над которыми придётся поломать голову

Чтобы найти ответ, придётся не только вспомнить правила из учебников, но и подключить логику и воображение.



Советуем взять листок и ручку, они пригодятся при решении некоторых задач.
1. На что нужно умножить треть от четверти числа, чтобы получить утроенную половину того же числа?

2. Женя ежедневно записывает текущую дату и вычисляет произведение цифр. Например, 19 марта она записала 19.03 и произвела подсчёты: 1 × 9 × 0 × 3 = 0. Какое самое большое произведение чисел она может получить?

3. Сколько дециграммов в килограмме?

4. Когда четверых ребят спросили, сколько из них вчера ходили на каток, Саша ответила, что никто, Коля — что один человек, Тоня — что два, а Женя — что три. Известно, что правду сказали только те, кто ходил на каток. Сколько ребят вчера там были?

5. Федя выписывает натуральные числа: 1, 2, 3… После того как он выписал 2015‑ю цифру, у него закончились чернила. Какую цифру он написал последней?

6. На столе стоит 10 ваз, в любых двух вазах вместе лежит не более пяти орехов. Какое наибольшее количество орехов может быть во всех вазах вместе?

7. Безумный Шляпник сделал странные часы. Минутная стрелка у них неподвижна, а циферблат и часовая вращаются так, что часы всегда показывают правильное время. Сколько оборотов за сутки делает часовая стрелка таких часов?

8. Черепахе Чапе 180 лет, а черепашке Пашке 173 года. Через сколько лет возраст Пашки будет составлять 99% от возраста Чапы?

В подборке использованы задания из математического конкурса «Кенгуру» за 2015, 2017, 2018 и 2019 годы.

Решения

1. Решить задачу можно с помощью простого уравнения. Для этого загаданное число следует обозначить как x, а число, на которое его нужно умножить, — n. Тогда треть от четверти числа — это x / (3 × 4), а утроенная половина — 3x / 2.
Получается уравнение nx / 12 = 3x / 2. По правилам, обе его части можно умножить на одно и то же число, и равенство останется верным. Умножим на 12, чтобы избавиться от дробей. Тогда получится: nx = 18x, а n = 18.
Ответ: 18.

2. В записи даты не должно быть нулей. То есть из месяцев подходят только ноябрь (11) и декабрь (12). Цифра 2 больше единицы, поэтому выбрать нужно последний месяц.
День месяца должен содержать цифру 9. Наибольшая цифра, которая может стоять перед ней, — 2, потому что в месяце не больше 31 дня. Получается дата 29.12. Выполним подсчёты: 2 × 9 × 1 × 2 = 36.
Ответ: 36.

3. Приставка деци- означает одну десятую. То есть в одном дециграмме 0,1 грамма или 0,0001 килограмма. Значит, в килограмме 1 000 / 0,1 = 10 000 дециграммов.
Ответ: 10 000.

4. Саша ответила, что на катке не было никого из ребят. Но она не смогла бы этого узнать, если бы сама туда не пришла. Получается, что Саша врёт.
Если бы высказывание Тони было правдой, то Женя или Коля должны были тоже сказать, что на каток ходили два человека. Ответ Жени также не совпадает с другими высказываниями ребят. Значит, и Женя, и Тоня лгут. Из этого можно сделать вывод, что Коля был на катке один и только его ответ — правда.
Ответ: один.

5. Натуральные числа — это те, что используются при счёте. Однозначных натуральных чисел всего 9 (от 1 до 9), двузначных — 90 (от 10 до 99).
Значит, перед тем, как начать писать трёхзначные числа, у Феди оставалось 2 015 − 9 × 1 − 90 × 2 = 1 826 цифр до окончания чернил. Чтобы узнать, сколько трёхзначных чисел он написал, разделим 1 826 на 3. В ответе нужно получить целое значение, так как Федя не мог написать долю числа. Но 1 826 не кратно трём, так что при делении будет остаток: 1 826 / 3 = 608 целых трёхзначных чисел + ещё две цифры.
Чтобы найти нужное трёхзначное число, прибавим к его порядковому номеру 99, столько чисел стоит до 100 — первого трёхзначного числа: 608 + 99 = 707. Это последнее число, которое Федя успел написать полностью. Следующее число — 708, до конца чернил у него оставалось два знака. Значит, последняя цифра, которую написал Федя, — 0.
Ответ: 0.

6. По условиям, в двух вазах не должно быть более пяти орехов, то есть в одной может быть максимум четыре ореха. Тогда в остальных девяти вазах останется только по одному ореху. Итого в 10 вазах окажется: 4 + 9 = 13 орехов.
Если максимальное число орехов в одной вазе — три, то, чтобы соблюсти условия, в остальных девяти вазах должно быть по два ореха. В этом случае в 10 вазах будет: 3 + 9 × 2 = 21 орех. Это и есть наибольшее возможное количество орехов.
Ответ: 21.

7. Чтобы такие часы всегда показывали верное время, циферблат должен вращаться со скоростью минутной стрелки, но в противоположном направлении. Значит, за сутки циферблат делает 24 оборота против часовой стрелки.
Часовая стрелка в обычных часах делает два оборота в сутки по часовой стрелке. Но в часах Шляпника она должна дополнительно повернуться вместе с циферблатом в другую сторону 24 раза. То есть за сутки часовая стрелка делает: 24 − 2 = 22 оборота.
Ответ: 22.

8. Разница в возрасте черепах: 180 − 173 = 7 лет. Она всегда будет неизменной. По условию задачи, через некоторое количество лет Пашке должно быть 99% от возраста Чапы. Возраст самого Чапы — 100%. 100 − 99 = 1% — это их разница в возрасте.
Как мы писали выше, это значение со временем не изменится, поэтому 1% будет равен 7 годам. То есть полный возраст Чапы к моменту, когда возраст Пашки будет составлять 99% от его возраста, равен: 7 × 100 = 700 годам. Значит, возраст Пашки будет соответствовать условию задачи через: 700 − 180 = 520 лет.
Ответ: 520.