Математические парадоксы: может ли быть полностью забронирован бесконечный отель?
Представьте, что вы в отпуске и ваше бронирование в отеле отменили. Облом. Вам придется искать другое место для проживания. Вы начинаете гуглить в поисках жилья и натыкаетесь на это объявление. В нем упоминается отель, в котором, похоже, бесконечное количество номеров. Там наверняка найдется свободный номер для вас, верно?
Вы приезжаете в отель, и на стойке регистрации вас встречает администратор. Этот администратор выглядит особенным. Скоро вы узнаАте, почему. Он начинает с того, что все номера в отеле забронированы. Бесконечное число номеров заполнено бесконечным числом гостей. Но подождите, у администратора есть решение. Он всё-таки сможет вас заселить. Я же говорил, что он особенный!
Он начинает объяснять, что все комнаты в отеле пронумерованы, начиная с номера один. Затем идет номер два, потом три и так до бесконечности. В этом отеле в каждом номере может проживать только один человек. Итак, если в каждом из номеров проживает один человек, как администратор освободит для вас место? Очень просто: он попросит каждого из гостей переместиться в соседнюю комнату. Таким образом, человек, проживающий в номере один, перейдет в номер два, тот, что живет в номере два, — в номер три, и так далее. Как только каждый из этого бесконечного числа гостей переместится в соседний номер, первый номер освободится для вашего проживания. Пока вы ждете у стойки регистрации, подъезжает автобус, пассажиры которого тоже хотят заселиться. Сто гостей ждут в автобусе. Администратор применяет ту же стратегию. Он перемещает всех на сто номеров, пока первые сто номеров не освободятся и не будут готовы принять гостей.
Слухи о том, что здесь есть отель, способный вместить много гостей, быстро распространяются. Начинает прибывать всё больше автобусов, подобных этому. И это не просто много автобусов. Бесконечное число автобусов с бесконечным числом пассажиров выстраивается у входа в отель. Наш администратор снова проявляет смекалку. Он открывает свой бесконечный ежедневник с бесконечным количеством страниц и начинает рисовать таблицу. В ней тоже бесконечное количество столбцов и строк. В этой таблице есть строка для каждого автобуса, а строка вверху — для всех людей, которые уже находятся в отеле. Он использует столбцы, чтобы показать, какое место занимает каждый человек. У него есть комната номер один, комната номер два и так далее. Он заполняет таблицу: автобус один, место один, затем автобус один, место два. Его цель — убедиться, что каждый человек получил свой уникальный код. Этот код состоит из комбинации номера транспортного средства и номера места. Затем он показывает всем, как он будет распределять номера.
Начиная с левого верхнего угла таблицы он проводит линию, которая зигзагообразно пересекает таблицу взад и вперед, проходя через каждого человека ровно один раз. Если бы он мог растянуть эту линию, он превратил бы бесконечную таблицу в один единственный ряд. Когда порядок по этой линии определен, он присваивает каждый номер комнаты определенному посетителю. Все снова помещаются. Как раз в тот момент, когда наш администратор собирается сделать перерыв, у входа в отель появляется большой автобус. И не обычный автобус, а автобус для вечеринок. В нем нет сидений. И, как вы уже догадались, пассажиров в нем бесконечное множество. Когда они выходят из автобуса, вы слышите их имена. Они, конечно, странные! Вскоре один из новых посетителей начинает объяснять, почему они называют друг друга именно так. Поскольку в автобусе их бесконечное количество, все они решили использовать уникальные идентификаторы, состоящие только из букв Икс и Игрек. Чтобы соответствовать нашей теме, эти имена также бесконечно длинные. Одного человека могут звать Икс-икс-икс-икс-икс-икс-икс-икс-икс-икс-икс-икс, а другого Икс-игрек-икс-игрек-икс-игрек-икс-игрек-икс-игрек-икс-игрек, и их имена продолжаются бесконечно. Подумав немного, вы приходите к выводу, что для каждой возможной бесконечной последовательности этих двух букв существует свой человек.
Но как только люди из автобуса для вечеринок начинают заходить в отель, администратор говорит, что он не в состоянии их всех заселить. «Возможно, в этот раз будет сложновато объяснить, — говорит он. — Но позвольте мне попробовать». Он начинает с того, что снова открывает свою бесконечную таблицу. Затем он начинает распределять комнаты между людьми в автобусе. Допустим, комната номер один предназначена для человека по имени Икс-икс-икс-икс-икс-икс-икс-икс-икс-икс-икс-икс, а комната номер два — для человека по имени Икс-игрек-икс-игрек-икс-игрек-икс-игрек-икс-игрек-икс-игрек. Чтобы закончить, ему придется распределить разные иксы и игреки по каждому из бесконечного числа номеров. «Вот тут-то и возникает сложность, — говорит он, — потому что даже если мы завершим этот бесконечный список имен, я всё равно смогу назвать человека, которому не будет выделен номер». Чтобы выяснить, кто этот человек, достаточно взять первую букву первого имени и заменить ее, чтобы икс стал игреком. Затем нужно взять вторую букву второго имени и поменять ее с игрека на икс. Если продолжать в том же духе, записанное вами имя наверняка не появится в списке.
Да, вы наткнулись на отель с бесконечным количеством номеров, но это не значит, что в нем может поместиться буквально каждый. Потому что эти номера бесконечны, но они исчисляемо бесконечны. Даже если это займет вечность, в теории вы можете пересчитать все номера в отеле. Причина, по которой вы не можете втиснуть всех людей из автобуса для вечеринки, заключается в том, что этих людей неисчислимое множество. Не существует систематического способа их определить. Осознав это, вы можете задуматься: могут ли одни бесконечности быть больше других? Эта теория называется «парадокс гранд-отель», или «отель Гильберта», и она не единственная в своем роде. «Теория дружбы» — тоже забавная теория. Она означает, что у большинства людей меньше друзей, чем у их друзей. Так что если у вас три друга, есть шанс, что у ваших друзей больше трех друзей. Это как головоломка — трудно понять, почему так происходит, но это правда!
Впервые это заметил в тысяча девятьсот девяносто первом году социолог по имени Скотт Фелд. Он сделал это необычное открытие, изучая существующие социальные сети. Он подсчитал среднее количество друзей у человека, а затем сравнил это число со средним количеством друзей у его друзей. Самое интересное произошло, когда он заметил, что второе число всегда больше. Проблема в том, что этому явлению нет логического объяснения. Почему это важно, спросите вы? Потому что это влияет на то, как мы воспринимаем себя по отношению к другим. Большинство из нас считает, что наши друзья счастливее, богаче и популярнее, чем мы сами. Но важно помнить, что почти все находятся в одинаковой ситуации. Существуют также Апори́и Зено́на, которые представляют собой загадки о движении. Они задаются такими вопросами: «Если для того, чтобы преодолеть путь, нужно сначала преодолеть половину пути, а чтобы преодолеть половину пути, нужно сначала преодолеть половину половины, попадете ли вы туда когда-нибудь?». Ответ — да! Пусть может показаться, что вы никогда не доберетесь до конца, если вы будете продолжать проходить половину пути, вы в конце концов дойдете.
Все эти безумные теории по сути своей относятся к парадоксам. В математике это математические выводы, настолько абсурдные, что их трудно понять, даже если каждый шаг, который вы сделали, прежде чем прийти к выводу, верен. В большинстве сценариев парадокс заключается в противоречии в самих утверждениях. Например, в бесконечном гранд-отеле эти утверждения заключаются в том, что отель может быть полностью забронирован и в то же время иметь свободные номера.
Вы приезжаете в отель, и на стойке регистрации вас встречает администратор. Этот администратор выглядит особенным. Скоро вы узнаАте, почему. Он начинает с того, что все номера в отеле забронированы. Бесконечное число номеров заполнено бесконечным числом гостей. Но подождите, у администратора есть решение. Он всё-таки сможет вас заселить. Я же говорил, что он особенный!
Он начинает объяснять, что все комнаты в отеле пронумерованы, начиная с номера один. Затем идет номер два, потом три и так до бесконечности. В этом отеле в каждом номере может проживать только один человек. Итак, если в каждом из номеров проживает один человек, как администратор освободит для вас место? Очень просто: он попросит каждого из гостей переместиться в соседнюю комнату. Таким образом, человек, проживающий в номере один, перейдет в номер два, тот, что живет в номере два, — в номер три, и так далее. Как только каждый из этого бесконечного числа гостей переместится в соседний номер, первый номер освободится для вашего проживания. Пока вы ждете у стойки регистрации, подъезжает автобус, пассажиры которого тоже хотят заселиться. Сто гостей ждут в автобусе. Администратор применяет ту же стратегию. Он перемещает всех на сто номеров, пока первые сто номеров не освободятся и не будут готовы принять гостей.
Слухи о том, что здесь есть отель, способный вместить много гостей, быстро распространяются. Начинает прибывать всё больше автобусов, подобных этому. И это не просто много автобусов. Бесконечное число автобусов с бесконечным числом пассажиров выстраивается у входа в отель. Наш администратор снова проявляет смекалку. Он открывает свой бесконечный ежедневник с бесконечным количеством страниц и начинает рисовать таблицу. В ней тоже бесконечное количество столбцов и строк. В этой таблице есть строка для каждого автобуса, а строка вверху — для всех людей, которые уже находятся в отеле. Он использует столбцы, чтобы показать, какое место занимает каждый человек. У него есть комната номер один, комната номер два и так далее. Он заполняет таблицу: автобус один, место один, затем автобус один, место два. Его цель — убедиться, что каждый человек получил свой уникальный код. Этот код состоит из комбинации номера транспортного средства и номера места. Затем он показывает всем, как он будет распределять номера.
Начиная с левого верхнего угла таблицы он проводит линию, которая зигзагообразно пересекает таблицу взад и вперед, проходя через каждого человека ровно один раз. Если бы он мог растянуть эту линию, он превратил бы бесконечную таблицу в один единственный ряд. Когда порядок по этой линии определен, он присваивает каждый номер комнаты определенному посетителю. Все снова помещаются. Как раз в тот момент, когда наш администратор собирается сделать перерыв, у входа в отель появляется большой автобус. И не обычный автобус, а автобус для вечеринок. В нем нет сидений. И, как вы уже догадались, пассажиров в нем бесконечное множество. Когда они выходят из автобуса, вы слышите их имена. Они, конечно, странные! Вскоре один из новых посетителей начинает объяснять, почему они называют друг друга именно так. Поскольку в автобусе их бесконечное количество, все они решили использовать уникальные идентификаторы, состоящие только из букв Икс и Игрек. Чтобы соответствовать нашей теме, эти имена также бесконечно длинные. Одного человека могут звать Икс-икс-икс-икс-икс-икс-икс-икс-икс-икс-икс-икс, а другого Икс-игрек-икс-игрек-икс-игрек-икс-игрек-икс-игрек-икс-игрек, и их имена продолжаются бесконечно. Подумав немного, вы приходите к выводу, что для каждой возможной бесконечной последовательности этих двух букв существует свой человек.
Но как только люди из автобуса для вечеринок начинают заходить в отель, администратор говорит, что он не в состоянии их всех заселить. «Возможно, в этот раз будет сложновато объяснить, — говорит он. — Но позвольте мне попробовать». Он начинает с того, что снова открывает свою бесконечную таблицу. Затем он начинает распределять комнаты между людьми в автобусе. Допустим, комната номер один предназначена для человека по имени Икс-икс-икс-икс-икс-икс-икс-икс-икс-икс-икс-икс, а комната номер два — для человека по имени Икс-игрек-икс-игрек-икс-игрек-икс-игрек-икс-игрек-икс-игрек. Чтобы закончить, ему придется распределить разные иксы и игреки по каждому из бесконечного числа номеров. «Вот тут-то и возникает сложность, — говорит он, — потому что даже если мы завершим этот бесконечный список имен, я всё равно смогу назвать человека, которому не будет выделен номер». Чтобы выяснить, кто этот человек, достаточно взять первую букву первого имени и заменить ее, чтобы икс стал игреком. Затем нужно взять вторую букву второго имени и поменять ее с игрека на икс. Если продолжать в том же духе, записанное вами имя наверняка не появится в списке.
Да, вы наткнулись на отель с бесконечным количеством номеров, но это не значит, что в нем может поместиться буквально каждый. Потому что эти номера бесконечны, но они исчисляемо бесконечны. Даже если это займет вечность, в теории вы можете пересчитать все номера в отеле. Причина, по которой вы не можете втиснуть всех людей из автобуса для вечеринки, заключается в том, что этих людей неисчислимое множество. Не существует систематического способа их определить. Осознав это, вы можете задуматься: могут ли одни бесконечности быть больше других? Эта теория называется «парадокс гранд-отель», или «отель Гильберта», и она не единственная в своем роде. «Теория дружбы» — тоже забавная теория. Она означает, что у большинства людей меньше друзей, чем у их друзей. Так что если у вас три друга, есть шанс, что у ваших друзей больше трех друзей. Это как головоломка — трудно понять, почему так происходит, но это правда!
Впервые это заметил в тысяча девятьсот девяносто первом году социолог по имени Скотт Фелд. Он сделал это необычное открытие, изучая существующие социальные сети. Он подсчитал среднее количество друзей у человека, а затем сравнил это число со средним количеством друзей у его друзей. Самое интересное произошло, когда он заметил, что второе число всегда больше. Проблема в том, что этому явлению нет логического объяснения. Почему это важно, спросите вы? Потому что это влияет на то, как мы воспринимаем себя по отношению к другим. Большинство из нас считает, что наши друзья счастливее, богаче и популярнее, чем мы сами. Но важно помнить, что почти все находятся в одинаковой ситуации. Существуют также Апори́и Зено́на, которые представляют собой загадки о движении. Они задаются такими вопросами: «Если для того, чтобы преодолеть путь, нужно сначала преодолеть половину пути, а чтобы преодолеть половину пути, нужно сначала преодолеть половину половины, попадете ли вы туда когда-нибудь?». Ответ — да! Пусть может показаться, что вы никогда не доберетесь до конца, если вы будете продолжать проходить половину пути, вы в конце концов дойдете.
Все эти безумные теории по сути своей относятся к парадоксам. В математике это математические выводы, настолько абсурдные, что их трудно понять, даже если каждый шаг, который вы сделали, прежде чем прийти к выводу, верен. В большинстве сценариев парадокс заключается в противоречии в самих утверждениях. Например, в бесконечном гранд-отеле эти утверждения заключаются в том, что отель может быть полностью забронирован и в то же время иметь свободные номера.
Только зарегистрированные и авторизованные пользователи могут оставлять комментарии.
0
Интересно)
- ↓
