Вопрос на засыпку: за какое время человек мог бы пролететь сквозь Землю?

Представьте себе колодец, прорытый через центр Земли, из которого выкачан воздух. Сколько времени будет падать в нем человек, пока не достигнет противоположной стороны планеты? Долгие годы эту задачку задают студентам-физикам для тренировки мозгов во многих университетах мира.

Идея гравитационного туннеля впервые была предложена ученым по фамилии Купер в журнале American Journal of Physics в 1966 году. Он показал, что падающее тело будет лететь 42 минуты сквозь туннель через центр Земли, если взять в расчет некоторые предположения и отбросить ряд физических ограничений. В своей статье он также впервые показал, что минимальное время, требующееся для путешествия из точки А в точку Б на разных глубинах может быть достигнуто при движении по особой кривой – брахистохроне. «Это такие головоломки, которые мы обожаем», — говорит американский физик Дэвид Джексон из Колледжа Дикинсона в Пенсильвании, редактор того самого журнала.
Несмотря на то что туннель через центр Земли вряд ли будет построен в обозримом будущем, подобные упражнения играют важную педагогическую роль, демонстрируя, как задачу на ньютоновскую гравитацию можно решить методами теории колебаний, избегая сложных расчетов переменного ускорения тела.
Главным предположением в этой задаче всегда была однородность плотности Земли – на любом расстоянии от центра она бралась из расчета 5500 кг на кубометр, что соответствует средней плотности нашей планеты. При таком предположении в каждый момент сила, ускоряющая тело в глубь планеты, зависит только от расстояния до центра, а масса «внешней», пройденной части планеты перестает притягивать тело, как можно показать из несложных математических расчетов.
В реальности Земля имеет более сложное строение, и ее плотность, как известно, неодинакова на разных глубинах – она ниже у коры и выше в ядре. Это обстоятельство и решил учесть выпускник отделения физики канадского Университета Макгилла Александр Клотц, чтобы пересчитать время падения в туннель.
Сам Клотц уже и не помнит, когда стал интересоваться этой проблемой. Просто ему часто приходится обсуждать подобные задачи на сайте reddit. «Я немного участвовал в обсуждении образовательных проектов, и эта тема всплывала довольно часто», — объяснил физик.
В своих расчетах он использовал референсную модель Земли (Preliminary Reference Earth Model), которая основывается на данных сейсморазведки. Эта модель включает в себя данные по плотностям планеты от самых низких – примерно 1000 кг/кубометр, до самых высоких в центре внутреннего ядра.
«Плотность Земли становится выше при движении к центру, достигая величины 13 тыс. кг/кубометр на глубине 6371 км, и испытывает резкий скачок у границы внешнего ядра (3500 км от центра), падая примерно на 50%. Из-за этого скачка сила притяжения сильно растет при движении вниз, достигая максимума в 1,09 g, а потом линейно падает при движении в ядре к центру», — поясняет Клотц в своей статье, опубликованной в том же журнале.
Численно решив старую задачу с новыми данными, Клотц выяснил, что человек или предмет, брошенные в колодец, будут лететь до противоположного края 38 минут 11 секунд, ровно на 4 минуты быстрее, чем считалось ранее.
В своих расчетах Клотц обратил внимание, что почти такой же ответ, 38 минут, был бы, если бы на тело при движении в туннеле действовала постоянная сила, равная силе тяжести у поверхности. Такое могло бы наблюдаться, если бы при движении в глубь Земли ее плотность неуклонно росла, удваиваясь на половине радиуса и достигая бесконечности в центре. В действительности плотность в центре Земли имеет плоский профиль и сила тяжести там близка к нулю.